annatext.serwis
Temat: odległość punktu od podstawy w trapezie
Wysokość trapezu jest równa c. Nazwałam ten trapez ABCD. |AB|=a, |CD|=b, |AD|=c. Prowadzę wysokość KL przez punkt S tak, że na podstawie AB leży punkt K, na podstawie CD- punkt L. Odległość punktu S od podstawy AB to długość odcinka |SK|=x. |SL|=c-x. Trójkąty ABS i CDS są podobne (mają równe kąty przy wierzchołku S- kąty wierzchołkowe, kąty przy wierzchołkach B w ABS i przy wierzchołku D w CDS to kąty naprzemianległe). Z podobieństwa tych trójkątów: Odległość punktu S od ramienia AD jest równa |AK|=y. |BK|=a-y. Trójkąty ABD i SKB są podobne (prostokątne o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku B). z podobieństwa tych trójkątów:
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12075
Temat: wykaz, ze pola powstalych trojkatow sa rowne
Są to kąty wierzchołkowe, przyjrzyj się. W czym tkwi 'dalej' problem? Pozdrawiam, -- Tomasz Rużycki
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=8382
Temat: okrąg opisany na trapezie
Mamy trapez równoramienny (bo opisany jest na nim okrąg) ABCD, gdzie AB to dłuższa podstwa, a CD to krótsza podstawa. Mamy również wysokość DE , opadającą na podstawę AB. Mamy środek okręgu O. Odległości OD , OA, OC, OB są sobie równe i to długość promienia R. Odległość O od podstaw wyliczyć łatwo, korzystając choćby z tw. Talesa. ( kąty wierzchołkowe, podstawy podobne w skali...) Ciekawe jest zagadnienie odległości od ramion trapezu. NAjpierw policzmy długość ramienia c. Można ją wyliczyć z tw. Pitagorasa. ( trójkąt o przyprostokątnych : wysokość DE, EA (=4) i przeciwprostokątnej c). Mi wyszło Dalej liczymy pole duzego trójkąta ADB Ze wzoru Policzmy jeszcze długość boku DB, najlepiej z TW. Pitagorasa (trójkąt : h, EB, BD) Mi wyszło Dalej zapisujemy pole ABD...
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=117542
Temat: Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
Inny sposób na rozwiązanie. Trójkąty APB i DPC są podobne (możesz to udowodnić: masz tam kąty wierzchołkowe, przedłuż proste zawierające boki i przekątne i uzupełnij kąty). Ponieważ podobne to: po wymnożeniu (1) Kąty DPA i CPB są równe (
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=144206
Temat: Trójkąt-zadanie
Oznacz sobie kąty, jak na rysunku. , więc masz kąty ACD, DCB. Po drugiej stronie kąty wierzchołkowe. CA1B1 jest podobny do ABC, więc masz w nim wszystkie kąty. Teraz zauważ, że A1EC i B1EC są równoramienne, i że mają wspólne ramię, stąd |CE|=|B1E|=|A1E|. Stąd E jest środkiem okręgu opisanego na A1B1C, więc |B1E|=|A1E|
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=111189
Temat: Ile razy jest większe pole trójkąta A'B'C' od pola ABC?
Poprowadźmy dwie proste: - równoległą do prostej CA przechodząca przez punkt B - niech przecina ona prostą C'A' w punkcie D; - równoległą do prostej AB przechodząca przez punkt C' - niech przecina ona prostą BD w punkcie E; Czworokąt AC'EB jest równoległobokiem, więc AB=C'E. A'B=AB, gdyż A' jest symetryczny do A względem B, a więc C'E=BA'. C'DE i BDA' to kąty wierzchołkowe, więc mają równe miary. C'E równoległy do BA', więc kąty C'ED i A'BD mają równe miary. Trójkąty C'ED i A'BD mają 3 pary kątów równych i jeden bok równy, więc są przystające. Tak więc pole równoległoboku C'EBA jest równe polu trójkąta C'A'A. Prosto dowieść, że równoległobok C'EBA ma pole dwukrotnie większe niż trójkąt ABC, więc trójkąt C'A'A ma pole dwa razy większe od tyrójkąta ABC. Analogicznie...
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=64095
Temat: Wykaż, że... ; trójkąt, trapez, punkt P
...w końcu sam, ale mimo wszystko chcę zrobić to na 2 sposoby ;p Dziękuje Sherlock'u za podsunięcie ajdiji ;d A więc znalazłem coś takiego: http://matematyka.pisz.pl/strona/503.html a tam: Czyli gdybym chciał wszystko poprawnie zapisać i ukończyć zadanie to wyglądałoby to tak: ------------------------------------------------------ Pole trójkąta można policzyć za pomocą wzoru: Trójkąty APB i DPC są podobne, gdyż znajdują się tam kąty wierzchołkowe, a skoro podobne to:
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=144206
Temat: Cięciwy w okręgu
Znajdź trójkąty podobne - cecha kkk: kąty wierzchołkowe i oparte na tym samym łuku.
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=201782
Temat: środkowe
Nazwij trójkąt ABC, środkowe odpowiednio AD, BE, CF. Punkt przecięcia środkowych - O. Z twierdzenia o środkowych: Ponieważ |AD|=|BE|=|CF|, to mamy, że: ||AO|=|CO|=|BO| i |OD|=|OE|=|OF|. Rozpatrz trójkąty: AOF i ODC: |OC|=|OA|, |OD|=|OF| i kąty tych trójkątów przy wierzchołku O to kąty wierzchołkowe (równe), więc na mocy cechy (bkb) trójkąty te są przystające, czyli |AF|=|CD|. Ponieważ więc |AB|=|BC|. Podobnie- rozważ trójkąty OCE i OBF. Trójkąty te są przystające, więc |EC|=|BF|, czyli |AC|=|AB. Wynika stąd, że |AB|=|BC|=|AC|, czyli trójkąt ABC jest równoboczny.
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=11713
Temat: Przekątna podzielona na 3 części :/
Rysunek i oznaczenia takie jakie przyjęła anka. (bo to kąty wierzchołkowe)stąd z powyższego wynika, że 2z=x+y (bo to
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=2961
Temat: przystawanie trójkątów, pomoc
A co tu pisać, robisz rysunek |OA|=|OB| |OC|=|OD| |<AOC|=|<DOB| - kąty wierzchołkowe Trójkąty są podobne (bkb) w skali 1:1 czyli są przystające
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=2794
Temat: uzasadnij podobieństwo trójkątów
1. Jeśli , to - kąty sie pokrywają oraz - katy odpowiadające. Na podstawie cechy (kk)- dwa kąty przystające (trzecie kąty też muszą być przystające do siebie). d) - kąty wierzchołkowe Na podstawie cechy (kk). h) Z twierdzenia o siecznych: , stąd: oraz: - pokrywają się. Na podstawie cechy (bkb)- po dwa boki proporcjonalne i kąty między nimi przystające Co do h)- jeszcze jedna uwaga. Nie wiem, czy znałaś to twierdzenie o siecznych. Postaram się wykazać podobieństwo inaczej: Najprościej chyba rozpatrzeć czworokąt ADEC- jest wpisany w okrąg, więc . Niech . Wtedy . Stąd . Podobnie: . Na podstawie cechy (kk)...
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12067
Temat: Planimetria
3. Trójkąty ACE i BDE są podobne- kąty AEC i DEB to kąty wierzchołkowe, a kąty CDB i CAB to kąty wpisane oparte na tym samym łuku BC. Z podobieństwa:
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=13829
Temat: okrąg, odległość cięciwy od środka koła
Trójkąty EBD i ECA są podobne (cecha kąt-kąt-kąt, mamy tam kąty wierzchołkowe AEC i DEB oraz kąty BDC i BAC oparte na tym samym łuku). Skala podobieństwa: . oraz Znając obliczysz bez problemu szukaną odległość czyli wysokość opuszczoną na podstawę trójkąta równoramiennego OCD
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=143603
Temat: Sześciokąt foremny i jego przekątne
Sześciokąt nazwałam ABCDEF. Punkty przecięcia przekątnych: AC i BF- to K BD i AC to L CE i BD to M CE i DF to N EA i FD to O FB i EA to P. Rozpatrzmy trójkąt ABC. |AB|=|BC|, czyli jest to trójkąt równoramienny. Ponieważ kąt wewnętrzny sześciokąta ma miarę , więc: Podobnie - trójkąt ABF jest równoramienny i . W trójkącie ABK mamy: , więc trójkąt ABK jest równoramienny. Kąty AKB i FKC to kąty wierzchołkowe, więc . Analogicznie- wszystkie kąty wewnętrzne sześciokąta KLMNOP mają miarę . Rozważmy trójkąt KBL. W trójkącie tym |KB|=|BL| i . . Trójkąt KBL jest więc trójkątem równobocznym. analogicznie- wszystkie trójkąty: KBL, LCM, MDN, NEO, OFP, PAK są równoboczne. Czyli sześciokąt KLMNOP jest sześciokątem, w którym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty przystające. Jest więc sześciokątem...
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=13263
Temat: Trapez równoramienny i przekątna
Jak sobie dobrze rozrysujesz to zobaczysz, że trójkąt stworzony z przekątnej, krótszej podstawy i ramienia jest równoramienny (odpowiednie kąty wierzchołkowe). Więc ramie ma długość 7.
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=199010
Temat: prosta przechodząca przez wierzchołek
Rozważ trójkąty ABE i GDE. Kąty: DEG i AEB to kąty wierzchołkowe, więc przystające. Kąty ABE i EDG to kąty naprzemianległe, więc też przystające. Trójkąty te sa podobne. Z podobieństwa tego wynika: Rozważ trójkąty: ADE i BEF. Podobnie- kąty AED i BEF - wierzchołkowe, a kąty FBE i ADE - naprzemianległe. Czyli trójkąty te sa podobne. z tego podobieństwa wynika: W obu proporcjach równe są stosunki . Zatem: , a stąd: .
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12085
Temat: Kąty
1. Mam x+25=90 czyli x = 65 stopni. Kąt AOB ma 65+25+65,czyli 155 stopni. Należy wykonać rysunek i pokazać,że kąt prosty składa się z 25 stopni x stopni. 2. Kąty wierzchołkowe są równe,a suma kątów przyległych wynosi 180 stopni. Wykonaj rysunek.Mniejsze kąty oznaczam a ,zaś większe b stopni. a +b =180 a +144 =2b Rozwiązuję układ równań i otrzymuję a=72stopnie , b=108stopni. 3.Rysunek i oś symetrii kątów wierzchołkowych-koniec .
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=3547
Temat: Podobieństwo trójkątów - jedno zadanie
Sprawdź- punkt M, czy punkt P? Narysuj okrąg i dwie proste sieczne- są tu dwie możliwości- punkt P leży wewnątrz lub na zewnątrz koła. Opis jednak i dowód jest ten sam: to jedna z cięciw, to druga cięciwa. Narysuj cięciwy: i . Otrzymasz dwa trójkąty: i . Trójkąty te są podobne- mają wspólny kąt o wierzchołku P w przypadku, gdy punkt P leży na zewnątrz, lub ich kąty przy wierzchołku P to kąty wierzchołkowe, więc równe w przypadku, gdy punkt P leży wewnątrz koła. Poza tym mają pary kątów przystających (kąty wpisane oparte na tym samym łuku)- kąty przy wierzchołkach . z podobieństwa trójkątów: stąd .
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=11163
Temat: Podobieństwo trójkątów
Kąty trójkątów i mają równe miary. - kąty wierzchołkowe są równe - kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku okręgu - kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku okręgu
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=195412
Temat: Trójkąt równoramienny
Trójkąty BCD i ABE są podobne- prostokątne o wspólnym kącie przy wierzchołku B: a) Obwód trójkąta ABC: b) Trójkąty ADS i ABE są podobne- prostokątne o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku A: c) Trójkąty ADS i CSE są podobne - prostokątne o równych kątach przy wierzchołku S ( kąty wierzchołkowe): sprawdź jeszcze te rachunki, bo liczby są nieciekawe
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=11836
Temat: Podobieństwo trójkątów
Kąty wierzchołkowe + twierdzenie Talesa. Otrzymamy dwa takie same kąty i dwa podobne łuki. Dalej już łatwo do znalezienia tutaj twierdzenia Talesa (jeśli jedno koło odpowiednio przekręcimy).
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=195412
Temat: kąty wierzchołkowe, figury wypukłe i niewypukłe
1) Kąty AOC i BOD są kątami wierzchołkowymi.Wykaż,że przedłużenie dwusiecznej kąta AOC jest dwusieczną kąta BOD. 2) Przedstaw:a) odcinek, b) prostą, c) trójkąt, d) prostokąt- raz jak sumę figur wypukłych, a raz jako sumę figur wklęsłych. -- 11 lutego 2009, 13:55 -- odp. do 1 Założenie kąty AOC i BOD kąty wierzchołkowe prosta LO dwusieczna kąta AOC kąt COD przyległy do kąta AOC dwusieczna LO dzieli kąt AOC na dwa równe kąty Teza prosta LO dwusieczna kąta BOD dzieli kąt na dwa równe kąty dowód rusuję dwusieczną kąta COD, otrzymuję dwa kąty z twierdzenia o dwusiecznych kątów przylęgłych mam,że co kończy dowód czy to wystarcza na wykazanie, że przedłużenie dwusiecznej jednego kąta wierzcholkowego jest dwusieczną drugiego...
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=107760
Temat: Odległość punktu od środka okręgu
...Środki obu okręgów leżą na wysokości trójkąta opuszczonej na podstawę. Obliczmy wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę (dzieli podstawę na połowy): Oznaczyłam tę wysokość CE. Narysuj wysokość AF. wysokości CE i AF przecinają się w punkcie D. Rozważ trójkąty: CDF i CEB- są podobne (prostokątne o wspólnym kącie ostrym) Rozważ trójkąty CDF i AED - podobne (prostokątne o przystających kątach ostrych przy wierzchołku D- kąty wierzchołkowe) Stąd trójkąty AED i CDF są podobne. Oznaczyłam |DE|=x (odległość punktu D od podstawy) Z podobieństwa : Pole trójkąta: a, b, c- boki r- promień okręgu wpisanego R- promień okręgu opisanego r- odległość środka okręgu wpisanego od podstawy trójkąta. - środek okręgu wpisanego R to odległość środka okręgu opisanego od wierzchołka. Jego odległość od podstawy to h-R - środek okręgu opisanego
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12093
Temat: trójkąt ABC
Oznacz na rysunku (bo AD zawiera się w dwusiecznej). trójkąt ABE jest równoramienny, czyli |AB|=|BE|, czyli: . Oznacz ( kąty wierzchołkowe). Trójkąty ADC i BDE są podobne (cecha (KK)). Stąd: , ale , czyli
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=6656
Temat: równość kątów
spróbuj pokombinować z "przekręcaniem" tych kątów w krateczkach(beda wtedy to katy wierzchołkowe, odpowiadające, naprzemianlegle). wydaje mi sie ze to jakos tak nalezy rozwiazywac (krateczki sa rownolegle). jeszcze pomysle, chwilowo musze spadac powodzenia
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=12533
Temat: długość odcinka jest średnią harmoniczną
Średnia harmoniczna liczb a i b: Oznaczyłam: trapez ABCD, gdzie |AB|=a, |CD|=b (przyjęłam, że a>b) punkt przecięcia przekątnych- O |AO|=x, |OC|=y, |OB|=t, |OD|=w, |MN|=m, |OM|=k, |ON|=l, więc m=k+l. Rozważ trójkąty ABO i CDO- są to trójkąty podobne (przystające kąty: AOB i COD- kąty wierzchołkowe, ODC i OBA- naprzemianległe). z tego podobieństwa: Rozważ trójkąty ABD i MOD- ponieważ MO jest równoległe do AB, więc są podobne (przystające kąty: przy wierzchołku D wspólny, kąty DMO i MAB odpowiadające): Rozważ trójkąty ABC i ONC (podobne): i to właśnie trzeba pokazać.
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12086
Temat: Trapez
Nazwałam trapez ABCD, gdzie AB to dłuższa podstawa, CD- krótsza. |AB|=a, |CD|=b, h- wysokość trapezu Trapez jest opisany na okręgu, więc a+b=13+15=28. wysokości trapezu opuszczone z końców krótszej podstawy: DE, CF. Z trójkąta ADE: Z trójkąta BCF: P- punkt przecięcia przekątnych, KL- wysokość trapezu poprowadzone przez punkt P. Trójkąty ABP i CDP są podobne, bo - kąty wierzchołkowe, - kąty naprzemianległe, - kąty naprzemianległe. Czyli: Pole trójkąta ABP:
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=8713
Temat: Wykaż, że pola trójkątów sąrówne ~ trapez
zauwaz następujące fakty: (kąty naprzemianległe) (kąty naprzemianległe) ( kąty wierzchołkowe) czyli: dlatego można zapisać: (
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=115971
Temat: kwadrat wpisany w trójkąt równoramienny
Trójkąty ABO i CDO są podobne (kąty BAO i ACD to kąty naprzemianległe, kąty AOB i COD to kąty wierzchołkowe - cecha (kkk). Trójkąt ABO jest podobny do trójkata COD w skali równej 2. Jeśli h- wysokość trapezu, to wysokość trójkąta AOB poprowadzona z wierzchołka O jest 2 razy większa niż wysokość trójkąta CDO opuszczona z wierzchołka O, a w sumie te dwie wysokości dają wysokość trapezu. Stąd wysokość trójkąta AOB opuszczona z wierzchołka O wynosi . Jeśli |CD|=a, to |AB|=2a Pole trapezu: pole trójkąta ABO: Pole...
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=12488
Temat: wykaz, ze pola powstalych trojkatow sa rowne
ok, rozumiem, ze tam sa katy wierzcholkowe. ale jak mam w zwiazku z tym wykazac, ze pole MGA=polu LGB? czy moglbys mi od tego momentu do konca pokazac, jak to rozwiazac? bylbym bardzo wdzieczny...
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=8382
Temat: Koło matematyczne w SP
...w postaci ułamka dziesiętnego; zapis ułamka dziesiętnego w postaci ułamka zwykłego, h. zaokrąglanie ułamków dziesiętnych. Obliczenia z użyciem kalkulatora, 16. Wykonuje proste obliczenia na ułamkach. 17. Zaznacza lub oblicza ułamek danej wartości. 18. Zna pojęcie wielokąta. 19. Wielokąty: a. punkt, prosta, półprosta, odcinek, b. proste prostopadłe, proste równoległe, c. kąt, porównywanie kątów, mierzenie kątów, d. kąty wierzchołkowe, kąty przyległe, e. trójkąt, nierówność trójkąta (dla długości boków), f. konstruowanie i klasyfikacja trójkątów, g. suma kątów w trójkącie, h. czworokąty: trapezy, równoległoboki, prostokąty, kwadraty, romby, i. przykłady wielokątów, obliczanie obwodu wielokąta, j. pole kwadratu, prostokąta, równoległoboku, trójkąta, trapezu, obliczanie pól w sytuacjach praktycznych,...
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=149738
Temat: równoległobok - obliczanie drugiej podstawy
Trójkąty AEM i CDM są podobne (prostokątne o kątach ostrych przystających- kąty AME i DMC to kąty wierzchołkowe).
Źródło: forum.zadania.info/viewtopic.php?t=9979
Temat: Trapez i przekątne
Wielkie dzięki. Teraz już wszystko rozumiem. Mam tylko pytanko a właściwię chce się upewnić czy podobieństwo trójkątów AEB oraz DEC moge udowodnić cachą podobieństwa kąt kąt: kąt AEB przystający do DEC ( kąty wierzchołkowe) kąt ABE przsytający do CDE (kąty naprzeciwległe) Dobrze?
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=40578
Temat: Wykaż o siecznych
Zauważ, że ( - są to kąty wierzchołkowe oraz - są to kąty oparte na tym samym łuku). Z tego podobieństwa dostajemy: , , co było do wykazania. Pozdrawiam, -- Tomek Rużycki
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=6654
Temat: Udowodnij : Wektory v Odcinki
Dany jest trapez ABCD. Niech E będzie środkiem boku AD, F środkiem boku CB, a odcinek EF linią środkową. Przez punkty D i F poprowadźmy prostą, która przetnie przedłużenie podstawy AB trapezu w punkcie M. Wówczas trójkąty DCF i BFM są przystające dlatego, że CF = FD z założenia, kąt CFD = kąt BFM, jako kąty wierzchołkowe, kąt CDF =kąt FMB, jako kąty naprzemianległe. Z przystawania tych trójkątów wynika, że DF = FM. W takim razie w trójkącie ADM odcinek EF łączy środki dwóch boków. Mamy zatem EF II AM, a więc EF II AB. [ Dodano: 9 Grudzień 2006, 01:07 ] a teraz wykażemy że długośc odcinka EF jest równa sredniej arytmetycznej długości podstaw. Z poprzedniego popunktu wiemy ze odcinek EF jest równoległy do podstaw. EF oznaczmy jako x....
Źródło: matematyka.pl/viewtopic.php?t=23461
